191. В квадрате ABCD случайным образом выбирается точка X. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции AMCD, где точка M: а) середина стороны BC; б) делит отрезок BC в отношении 1 : 2, считая от точки C; в) делит отрезок BC в отношении m : n, считая от точки B.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Площадь квадрата обозначим через 1. Точка M лежит на стороне BC, поэтому трапеция AMCD получается из квадрата удалением треугольника ABM.

Пусть сторона квадрата равна 1, а BM = t. Тогда площадь треугольника ABM равна \(\frac{t}{2}\), поэтому

\[S_{AMCD}=1-\frac{t}{2}.\]

Вероятность попадания случайной точки в трапецию равна отношению её площади к площади квадрата:

\[P=1-\frac{t}{2}.\]

Если M — середина BC, то \(t=\frac{1}{2}\). Поэтому
\[P=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.\]
Если M делит BC в отношении 1 : 2, считая от точки C, то \(CM:MB=1:2\), следовательно, \(BM=\frac{2}{3}BC\), то есть \(t=\frac{2}{3}\). Поэтому
\[P=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.\]
Если \(BM:MC=m:n\), то
\[t=\frac{m}{m+n}.\]
Следовательно,
\[P=1-\frac{m}{2(m+n)}=\frac{m+2n}{2(m+n)}.\]

Ответ: а) \(\frac{3}{4}\); б) \(\frac{2}{3}\); в) \(\frac{m+2n}{2(m+n)}\).