Ответ:

После русских приставок, оканчивающихся на согласную, начальная и корня обычно заменяется на ы. В словах с приставками меж- и сверх- сохраняется и; приставка пред- также не меняет начальную и корня.

безыдейное произведение: приставка без-, корень -ыдей- (слово образовано от «идея»).

небезынтересный факт: приставка небез-, корень -ытерес- (от «интерес»).

предыдущий рассказ: приставка пред-, корень -ыд- (слово «предыдущий» пишется с ы).

предыстория события: приставка пред-, корень -ыстор-.

безынициативный человек: приставка без-, корень -ынициатив-.

безвкусное поведение: приставка без-, корень -вкус-; в прилагательном «безвкусный» пишется суффикс -н-. В изображении пропуск перед «ственное» читается как «без...кус...ственное»; восстановленная форма — «безвкусственное».

безымянный герой: приставка без-, корень -ымян-.

разысканная вещь: приставка раз-, корень -ыск-.