199. Задача-исследование. При каких значениях \(a\) и \(b\) является тождеством равенство \(\dfrac{5x+3}{(x-5)(x+2)}=\dfrac{a}{x-5}+\dfrac{b}{x+2}\)? 1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и какими условиями воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи. 2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

1) Необходимые преобразования и условия.

Равенство должно выполняться при всех допустимых значениях \(x\). Поэтому сначала исключаем значения, при которых знаменатель равен нулю:

\[x-5\ne0,\qquad x+2\ne0,\qquad x\ne5,\;x\ne-2.\]

Затем умножаем обе части равенства на общий знаменатель \((x-5)(x+2)\), раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\).

2) Преобразования и решение системы.

Умножим равенство на \((x-5)(x+2)\):

\[5x+3=a(x+2)+b(x-5).\]

Раскроем скобки:

\[5x+3=ax+2a+bx-5b=(a+b)x+(2a-5b).\]

Приравниваем коэффициенты при \(x\) и свободные члены:

\[\begin{cases}a+b=5,\\2a-5b=3.\end{cases}\]

Из первого уравнения \(a=5-b\). Подставим во второе:

\[2(5-b)-5b=3;\]

\[10-7b=3;\]

\[b=1.\]

Тогда

\[a=5-1=4.\]

Проверка:

\[\dfrac{4}{x-5}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{4(x+2)+(x-5)}{(x-5)(x+2)}=\dfrac{5x+3}{(x-5)(x+2)}.\]

Ответ: \(a=4\), \(b=1\); область допустимых значений: \(x\ne5\), \(x\ne-2\).