19 SAMNL : SANLK = 1 : 3, NK : MK = ML : LK, MK = x.

Решение:

Дано отношение площадей двух треугольников \( \triangle MNL \) и \( \triangle NLK \): \( S_{MNL} : S_{NLK} = 1 : 3 \). Обозначим \( S_{MNL} = S \), тогда \( S_{NLK} = 3S \).

Площади треугольников с общей высотой относятся как их основания. Пусть \( h \) — высота, опущенная из вершины \( N \) на основание \( MLK \).

Тогда \( S_{MNL} = \frac{1}{2} ML \cdot h \) и \( S_{NLK} = \frac{1}{2} LK \cdot h \).

Из отношения площадей: \( \frac{S_{MNL}}{S_{NLK}} = \frac{\frac{1}{2} ML \cdot h}{\frac{1}{2} LK \cdot h} = \frac{ML}{LK} \).

Так как \( \frac{S_{MNL}}{S_{NLK}} = \frac{1}{3} \), то \( \frac{ML}{LK} = \frac{1}{3} \).

По условию также дано: \( NK : MK = ML : LK \).

Из \( \frac{ML}{LK} = \frac{1}{3} \) следует, что \( LK = 3 ML \).

Из \( NK : MK = ML : LK \) имеем \( \frac{NK}{MK} = \frac{ML}{LK} \).

Подставляя \( \frac{ML}{LK} = \frac{1}{3} \), получаем \( \frac{NK}{MK} = \frac{1}{3} \), значит, \( MK = 3 NK \).

Также по условию \( MK = x \).

Так как \( MK = MN + NK \) (если K лежит между M и N, что не соответствует рисунку, или M лежит между K и N) или \( MK = ML + LK \) (если L лежит между M и K). По рисунку видно, что M, L, K лежат на одной прямой.

Из \( MK = 3 NK \) и \( NK : MK = ML : LK \).

Подставим \( LK = 3ML \) в \( NK : MK = ML : LK \):

\( \frac{NK}{MK} = \frac{ML}{3ML} = \frac{1}{3} \).

\( MK = 3 NK \).

На рисунке показано, что \( LK = 20 \).

Так как \( \frac{ML}{LK} = \frac{1}{3} \), то \( ML = \frac{1}{3} LK = \frac{1}{3} \times 20 = \frac{20}{3} \).

\( MK = ML + LK = \frac{20}{3} + 20 = \frac{20 + 60}{3} = \frac{80}{3} \).

По условию \( MK = x \).

Следовательно, \( x = \frac{80}{3} \).

Ответ: x = \(\frac{80}{3}\).