№1 В треугольнике АВС угол C равен 90°, стороны АС и ВС равны. На стороне АВ отметили точку Р так, что угол АСР равен 18°. Найдите градусную меру угла АРС.

Решение:

Дан прямоугольный равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( AC = BC \). Это означает, что \( \angle A = \angle B = 45^{\circ} \).

На гипотенузе \( AB \) отмечена точка \( P \) так, что \( \angle ACP = 18^{\circ} \).

Мы можем найти \( \angle BCP \) как разность \( \angle ACB \) и \( \angle ACP \):

\[ \angle BCP = \angle ACB - \angle ACP = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ} \]

Рассмотрим треугольник \( BCP \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Мы знаем \( \angle B = 45^{\circ} \) и \( \angle BCP = 72^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BPC \) можно найти так:

\[ \angle BPC = 180^{\circ} - \angle B - \angle BCP = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 72^{\circ} = 63^{\circ} \]

Углы \( \angle APC \) и \( \angle BPC \) являются смежными, так как они лежат на одной прямой \( AB \). Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle APC + \angle BPC = 180^{\circ} \]

\[ \angle APC = 180^{\circ} - \angle BPC = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ} \]

Ответ: Градусная мера угла АРС равна 117°.