Ответ:

  1. Дверь была закрыта — грамматическая основа. Сказуемое была закрыта — составное именное (связка была и именная часть, выраженная кратким страдательным причастием).
  2. Алёшка с Алексанькой пришли — грамматическая основа; пришли — простое глагольное сказуемое. Весёлые — второстепенный член предложения, обозначает состояние пришедших.
  3. Коля начал стучать — грамматическая основа; начал стучать — составное глагольное сказуемое.
  4. Больные были благодарны — грамматическая основа; были благодарны — составное именное сказуемое.
  5. Несколько человек сидели и ждали — грамматическая основа; сидели и ждали — однородные простые глагольные сказуемые.
  6. Чтобы — подчинительный союз — грамматическая основа: чтобы — союз. Сказуемое союз — составное именное с нулевой связкой.
  7. Я не успел заметить — грамматическая основа; не успел заметить — составное глагольное сказуемое.