2.034. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали AC и BD грани ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между прямыми: а) AD₁ и A₁C₁; б) AB и DC₁; в) AB и C₁D₁; г) AD₁ и OD₁; д) AA₁ и OD₁.

Пусть ребро куба равно a. Введём координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), а верхние вершины имеют ту же пару первых координат и третью координату a. Тогда O(a/2; a/2; 0). Угол между прямыми берём острый или прямой.

1. а) Направляющие векторы прямых AD₁ и A₁C₁: (0; a; a) и (a; a; 0). Их скалярное произведение равно a², а длины обоих векторов — a√2. Поэтому cos φ = a²/(2a²) = 1/2, откуда φ = 60°.

2. б) Направляющие векторы AB и DC₁: (a; 0; 0) и (a; 0; a). Их скалярное произведение равно a², длины — a и a√2. Поэтому cos φ = 1/√2, откуда φ = 45°.

3. в) Прямые AB и C₁D₁ параллельны: их направляющие векторы (a; 0; 0) и (−a; 0; 0) коллинеарны. Угол между параллельными прямыми равен 0°.

4. г) Для AD₁ и OD₁ возьмём направляющие векторы (0; a; a) и (−a/2; a/2; a). Их скалярное произведение равно 3a²/2, длины — a√2 и a√(3/2). Поэтому cos φ = (3a²/2)/(a²√3) = √3/2, откуда φ = 30°.

5. д) Направляющие векторы AA₁ и OD₁: (0; 0; a) и (−a/2; a/2; a). Их скалярное произведение равно a², длины — a и a√(3/2). Поэтому cos φ = √(2/3), откуда φ = arccos√(2/3) ≈ 35,3°.

Ответ: а) 60°; б) 45°; в) 0°; г) 30°; д) arccos√(2/3) ≈ 35,3°.