2.035. Точка E — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Постройте угол между прямыми A₁B и B₁E и найдите его величину, если длина ребра куба равна a.

Зададим координаты вершин куба с ребром \(a\): \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), а верхние вершины расположены на высоте \(a\). Так как \(E\) — середина \(CC_1\), то \(E(a,a,\frac a2)\).

1. Найдём направляющие векторы прямых: \(\vec{A_1B}=(a,0,-a)\), \(\vec{B_1E}=(0,a,-\frac a2)\).

2. Их скалярное произведение: \(\vec{A_1B}\cdot\vec{B_1E}=\frac{a^2}{2}\). Длины векторов: \(|\vec{A_1B}|=a\sqrt2\), \(|\vec{B_1E}|=\frac{a\sqrt5}{2}\).

3. По формуле угла между прямыми получаем \(\cos\varphi=\frac{|\vec{A_1B}\cdot\vec{B_1E}|}{|\vec{A_1B}||\vec{B_1E}|}=\frac{1}{\sqrt{10}}\). Поэтому \(\varphi=\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}\approx71.6^\circ\).

На схеме справа показан построенный угол: его стороны параллельны данным прямым и направлены так, чтобы угол был острым.

Ответ: \(\varphi=\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}\approx71.6^\circ\).