2.1.5. (САММАТ, 2022, 7.9) Найдите числа \(\overline{abc5}\) и \(\overline{mn}\), если они удовлетворяют условию \(\overline{abc5}:11=\overline{mn}\).

Пусть \(\overline{mn}=10m+n\). Тогда \(\overline{abc5}=11(10m+n)\).

Произведение оканчивается цифрой 5. Так как последняя цифра произведения \(11(10m+n)\) совпадает с последней цифрой \(10m+n\), получаем \(n=5\). Значит, \(\overline{mn}=10m+5\).

Поскольку \(\overline{mn}\) — двузначное число, а \(\overline{abc5}\) — четырёхзначное, подходят \(m=2,3,\ldots,9\). Подставим эти значения:

\(11\cdot25=275\), \(11\cdot35=385\), \(11\cdot45=495\), \(11\cdot55=605\), \(11\cdot65=715\), \(11\cdot75=825\), \(11\cdot85=935\), \(11\cdot95=1045\).

Ответ: \((\overline{abc5},\overline{mn})=(275,25),(385,35),(495,45),(605,55),(715,65),(825,75),(935,85),(1045,95)\).