2.1. Найдите точку минимума функции \(y=x^3-14x^2+49x+3\).

Найдём производную: \(y'=3x^2-28x+49\).

Приравняем её к нулю: \(3x^2-28x+49=0\). Корни уравнения: \(x=\frac{7}{3}\) и \(x=7\).

Знак производной меняется с отрицательного на положительный при переходе через \(x=7\), поэтому в этой точке функция имеет локальный минимум.

Вычислим значение функции: \(y(7)=7^3-14\cdot7^2+49\cdot7+3=3\).

Ответ: точка минимума — \((7;3)\).

На всей числовой прямой у кубической функции нет наименьшего значения; здесь найден локальный минимум.