2.101(б). Спутники Ио, Европа, Ганимед и Каллисто планеты Юпитер обращаются вокруг неё за 42, 85, 172 и 400 ч соответственно. За какое наименьшее время они все вместе повторяют своё положение на орбите?

Найдём наименьшее общее кратное периодов обращения: \(42=2\cdot3\cdot7\), \(85=5\cdot17\), \(172=2^2\cdot43\), \(400=2^4\cdot5^2\).

Берём наибольшие степени всех простых множителей:

\(\operatorname{НОК}(42,85,172,400)=2^4\cdot3\cdot5^2\cdot7\cdot17\cdot43=6\,123\,600\) ч.

Переведём в годы, дни и часы: \(6\,123\,600:24=255\,150\) суток, а \(255\,150:365=699\) лет и 15 суток.

Ответ: через 6 123 600 ч, то есть через 699 лет и 15 суток (при расчёте года как 365 суток).