2.104. Дроби $\frac{n}{20}$ и $\frac{c}{30}$, где $n$ и $c$ — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?

Question

Вопрос: $Фото задания: 2.104. Дроби $\frac{n}{20}$ и $\frac{c}{30}$, где $n$ и $c$ — натуральные числа, можно представить в виде десятичных.…$ Фото задания

2.104. Дроби $\frac{n}{20}$ и $\frac{c}{30}$, где $n$ и $c$ — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?

Accepted Answer

Разложим знаменатели на простые множители:

$20=2^2\cdot5$, $30=2\cdot3\cdot5$.

Конечная десятичная дробь после сокращения должна иметь в знаменателе только простые множители $2$ и $5$.

Для дроби $\frac{n}{20}$ это условие выполняется при любом натуральном $n$, так как знаменатель уже состоит только из множителей $2$ и $5$. Например, $\frac{1}{20}=0{,}05$, причём $1$ и $20$ взаимно просты.
Для дроби $\frac{c}{30}$ необходимо сократить множитель $3$. Значит, числитель $c$ должен делиться на $3$. Тогда $\gcd(c,30)\geqslant3$, поэтому числитель и знаменатель не могут быть взаимно простыми.

Ответ: для дроби $\frac{n}{20}$ — могут; для дроби $\frac{c}{30}$ — не могут.