2.11.16. В показательных выступлениях по фигурному катанию участвуют 4 девушки и 5 юношей. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первые две выступают девушки.

Решение:

Всего в выступлениях участвуют \( 4 + 5 = 9 \) человек.

Общее количество исходов (все возможные порядки выступлений) равно числу перестановок из 9 человек: \( P_9 = 9! \).

Нас интересует событие, когда первые два выступающих — девушки. Число таких исходов можно посчитать следующим образом:

1. Первая выступает девушка: есть 4 варианта выбора.
2. Вторая выступает девушка: осталось 3 девушки, значит, есть 3 варианта выбора.
3. Остальные 7 человек (2 девушки и 5 юношей) могут выступать в любом порядке: \( 7! \) вариантов.

Таким образом, число благоприятных исходов равно \( 4 \times 3 \times 7! \).

Вероятность события \( A \) (первые две выступают девушки) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P(A) = \frac{4 \times 3 \times 7!}{9!} = \frac{4 \times 3 \times 7!}{9 \times 8 \times 7!} \]

Сократим \( 7! \):

\[ P(A) = \frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{12}{72} \]

Упростим дробь:

\[ P(A) = \frac{1}{6} \]

Ответ: \( \frac{1}{6} \).