2.11. Докажите, что функция является возрастающей: 1) \(y=\sqrt{x-3}+2\); 2) \(y=\sqrt{3x-1}-1\).

1) \(y=\sqrt{x-3}+2\).

Область определения: \(x\ge 3\). Возьмём любые \(x_1,x_2\in[3;+\infty)\), такие что \(x_1<x_2\). Тогда \(x_1-3<x_2-3\). Так как функция \(y=\sqrt{x}\) является возрастающей, то \(\sqrt{x_1-3}<\sqrt{x_2-3}\). Прибавим к обеим частям 2:

\[\sqrt{x_1-3}+2<\sqrt{x_2-3}+2.\]

Следовательно, \(f(x_1)<f(x_2)\), поэтому функция возрастает на \([3;+\infty)\).

2) \(y=\sqrt{3x-1}-1\).

Область определения: \(3x-1\ge0\), то есть \(x\ge\frac13\). Возьмём любые \(x_1,x_2\in\left[\frac13;+\infty\right)\), такие что \(x_1<x_2\). Умножим неравенство на положительное число 3:

\[3x_1<3x_2.\]

Вычтем 1:

\[3x_1-1<3x_2-1.\]

Так как функция \(y=\sqrt{x}\) является возрастающей, то

\[\sqrt{3x_1-1}<\sqrt{3x_2-1}.\]

Вычтем из обеих частей 1:

\[\sqrt{3x_1-1}-1<\sqrt{3x_2-1}-1.\]

Следовательно, \(f(x_1)<f(x_2)\), поэтому функция возрастает на \(\left[\frac13;+\infty\right)\).

Ответ: обе функции являются возрастающими на своих областях определения.