2.118. Числа-близнецы. Два простых числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами. В 2013 г. учёные доказали, что существует бесконечно много пар таких чисел. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите пары чисел для n, равного 87, 123 и 165. Какие из этих пар являются числами-близнецами? в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Приведите все пары двузначных чисел такого вида, которые не являются числами-близнецами.

а) Пары простых чисел-близнецов среди чисел меньше 500: (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), (29; 31), (41; 43), (59; 61), (71; 73), (101; 103), (107; 109), (137; 139), (149; 151), (179; 181), (191; 193), (197; 199), (227; 229), (239; 241), (269; 271), (281; 283), (311; 313), (347; 349), (419; 421), (431; 433), (461; 463). Всего 24 пары.

б) Подставляем указанные значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1: при n = 87 получаем 521 и 523; при n = 123 — 737 и 739; при n = 165 — 989 и 991. В первой паре оба числа простые, поэтому это пара-близнецы. 737 делится на 11, а 989 = 23 · 43, поэтому две другие пары не состоят из двух простых чисел.

в) Перебирая двузначные пары вида 6k − 1 и 6k + 1, получаем пары, в которых хотя бы одно число составное: (35; 37), (47; 49), (55; 57), (65; 67), (77; 79), (85; 87), (91; 93), (95; 97). В каждой паре одно из чисел составное, значит, пара не является парой чисел-близнецов.