2.118. Два простых числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел такого вида, которые не являются числами-близнецами.

а) Перечислим пары простых чисел, отличающихся на 2, не превосходящие 500: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523) не входит, так как числа больше 500. Итого 24 пары.

б) Подставим заданные значения n:

1. При n = 87: 6 · 87 − 1 = 521, 6 · 87 + 1 = 523; пара (521, 523).
2. При n = 135: 810 − 1 = 809, 810 + 1 = 811; пара (809, 811).
3. При n = 165: 990 − 1 = 989, 990 + 1 = 991; пара (989, 991).

В каждой паре разность чисел равна 2. Все перечисленные числа простые.

в) Для двузначных чисел подходят k от 2 до 16. Проверим пары; достаточно заметить, что составное число в паре исключает статус чисел-близнецов: (11, 13) — близнецы; (17, 19) — близнецы; (23, 25); (29, 31) — близнецы; (35, 37); (41, 43) — близнецы; (47, 49); (53, 55); (59, 61) — близнецы; (65, 67); (71, 73) — близнецы; (77, 79); (83, 85); (89, 91); (95, 97).

Ответ: а) 24 пары; б) (521, 523), (809, 811), (989, 991); в) (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97).