2.118. Развивай мышление. а) Найдите в таблице среди первых 500 натуральных чисел числа-близнецы. б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, представьте в виде пар чисел для выражений 6k − 1 и 6k + 1. в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами.

а) Числа-близнецы — простые числа, разность которых равна 2. Среди первых 500 натуральных чисел пары таковы: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

б) Любое простое число, большее 3, имеет вид 6k − 1 или 6k + 1: остатки 0, 2, 3 и 4 при делении на 6 дают составные числа. Поэтому пары близнецов, кроме (3, 5), имеют вид (6k − 1, 6k + 1). Для найденных пар это (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

в) Например, 25 = 6·4 + 1 и 27 = 6·4 + 3; но, чтобы показать пару именно вида 6k − 1 и 6k + 1, возьмём k = 5: числа 29 и 31 простые и являются близнецами, а при k = 4 получаются 23 и 25 — 25 составное. Следовательно, числа заданного вида не обязательно оба простые.

Ответ: пары чисел-близнецов перечислены выше; не каждая пара чисел 6k − 1 и 6k + 1 состоит из простых чисел.