2.122. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. Проверьте, что числа в каждой паре взаимно простые.

а) Пары простых чисел, отличающихся на 2 и не превышающих 500: (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), (29; 31), (41; 43), (59; 61), (71; 73), (101; 103), (107; 109), (137; 139), (149; 151), (179; 181), (191; 193), (197; 199), (227; 229), (239; 241), (269; 271), (281; 283), (311; 313), (347; 349), (419; 421), (431; 433), (461; 463). Всего 24 пары.

б) При n = 87: 6 · 87 − 1 = 521, 6 · 87 + 1 = 523; пара (521; 523). При n = 135: 809 и 811; пара (809; 811). При n = 165: 989 и 991; пара (989; 991). В последней паре 989 = 23 · 43, поэтому 989 не является простым числом и эта пара не близнецовая.

В каждой паре числа нечётные и отличаются на 2. Их общий делитель должен делить разность 2; поскольку оба числа нечётные, их единственный общий делитель — 1. Значит, числа в каждой паре взаимно просты.