2.122. Два простых числа, разность которых равна 2, называют близнецами. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 или 6n + 1. Найдите пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. Проверьте, какие из них взаимно простые.

а) Пары простых чисел-близнецов, не превосходящих 500: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463). Всего 24 пары.

б) Подставляем значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

1. При n = 87: 6 · 87 − 1 = 521, 6 · 87 + 1 = 523. Пара: (521, 523).
2. При n = 135: 6 · 135 − 1 = 809, 6 · 135 + 1 = 811. Пара: (809, 811).
3. При n = 165: 6 · 165 − 1 = 989, 6 · 165 + 1 = 991. Пара: (989, 991), причём 989 = 23 · 43, поэтому эта пара не состоит из двух простых чисел.

Во всех трёх парах числа нечётные и отличаются на 2. Их общий делитель должен делить разность 2, но не может быть равен 2, поэтому во всех случаях НОД равен 1.

Ответ: в пункте а) 24 пары; в пункте б) все три указанные пары взаимно простые.