2.122. Развивая мышление, а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. Проверьте, какие из них взаимно простые.

а) Пары простых чисел-близнецов, не превосходящих 500: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463). Всего 24 пары.

б) Подставим каждое значение n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

1. При n = 87: 6 · 87 − 1 = 521; 6 · 87 + 1 = 523. Пара (521, 523). Оба числа простые.
2. При n = 135: 6 · 135 − 1 = 809; 6 · 135 + 1 = 811. Пара (809, 811). Оба числа простые.
3. При n = 165: 6 · 165 − 1 = 989; 6 · 165 + 1 = 991. Здесь 989 = 23 · 43, поэтому эта пара не является парой простых чисел-близнецов.

В каждой паре числа нечётные и отличаются на 2. Их общий делитель должен делить разность 2, а значит, может быть только 1. Следовательно, все три пары взаимно простые.

Ответ: 24 пары; все три полученные пары взаимно простые, но пара (989, 991) не состоит из двух простых чисел.