2.13. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox и графиком функции f(x) = −x² + 4x − 3.

Найдём точки пересечения графика с осью Ox:

\[-x^2+4x-3=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-4x+3=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)(x-3)=0.\]

Корни — \(x=1\) и \(x=3\). Между ними функция неотрицательна, поэтому площадь ограниченной области равна интегралу от функции на этом отрезке.

\[S=\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Big|_{1}^{3}=0-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}.\]

Ответ: \(\frac{4}{3}\) кв. ед.