2.15. а) В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает прямую CD в точке M, а биссектриса угла B пересекает прямую CD в точке N. Длина отрезка MN в 5 раз больше длины стороны CD параллелограмма. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 32 см. б) В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает прямую BC в точке K так, что BC : CK = 2 : 1. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 20 см.

а) Обозначим \(AB=CD=a\), \(AD=BC=b\). На прямой CD расстояние между точками пересечения биссектрис равно \(|2b-a|\): биссектриса угла A отсекает на продолжении CD отрезок длины \(b\), а биссектриса угла B — отрезок длины \(b\) с другого конца.

По условию \(|2b-a|=5a\). Так как \(a,b>0\), случай \(2b-a=-5a\) невозможен, следовательно, \(2b-a=5a\), откуда \(b=3a\).

Из периметра \(2(a+b)=32\) получаем \(a+b=16\). Подставляем \(b=3a\): \(4a=16\), значит \(a=4\) см и \(b=12\) см.

б) Биссектриса угла A делит сторону BC так, что \(BK=AB\). Пусть \(AB=CD=a\), а \(BC=AD=b\). Тогда \(CK=b-a\), и условие даёт \(\frac{b}{b-a}=2\). Отсюда \(b=2a\).

Из периметра следует \(a+b=10\). Поэтому \(3a=10\), откуда \(AB=CD=\frac{10}{3}\) см, а \(BC=AD=\frac{20}{3}\) см.

Ответ: а) 4 см и 12 см; б) \(AB=CD=\frac{10}{3}\) см, \(BC=AD=\frac{20}{3}\) см.