2.18. Разгадай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел, разность которых равна 2, называемые близнецами. б) Все пары среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? в) Не все пары чисел вида 6n − 1 и 6n + 1 являются числами-близнецами. Приведите пример пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. г) Все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами-близнецами.

В условии, вероятно, опечатки распознавания: «Разгадай мышление» — «Разгадай мышление»; смысл подпунктов понятен. Для пункта а) сама таблица простых чисел на изображении не видна, поэтому выпишем пары непосредственно.

а) Пары простых чисел-близнецов среди чисел до 500:

3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61; 71 и 73; 101 и 103; 107 и 109; 137 и 139; 149 и 151; 179 и 181; 191 и 193; 197 и 199; 227 и 229; 239 и 241; 269 и 271; 281 и 283; 311 и 313; 347 и 349; 419 и 421; 431 и 433; 461 и 463.

б) В списке 24 пары.

в) Подставим заданные значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

• При n = 87: 521 и 523. Оба числа простые, это близнецы.
• При n = 135: 809 и 811. Оба числа простые, это близнецы.
• При n = 165: 989 и 991. Число 989 делится на 23: 989 = 23 · 43, поэтому эта пара не состоит из простых чисел-близнецов.

г) Чтобы получить составную пару такого вида, достаточно взять k = 4: 6 · 4 − 1 = 23 и 6 · 4 + 1 = 25. Число 25 составное, поэтому пара 23 и 25 не является парой близнецов.

Ответ: а) 24 пары; б) 24 пары; в) пары: 521 и 523, 809 и 811, 989 и 991 (последняя не является парой близнецов); г) например, 23 и 25.