2.19. Упростите выражение. А) 1) \(\left(\frac{xy^2}{3}\right)^{-2}\left(\frac{x^2y}{3}\right)^2\); 2) \(2\sqrt{x}+5\sqrt{25x}-3\sqrt{36x}-4\sqrt{9x}\). Б) 1) \(\frac{\sqrt[3]{a^5\sqrt{b\sqrt[4]{a^{-1}}}}}{(a^2\sqrt[5]{ab^3})^2}\); 2) \(\sqrt[5]{\sqrt[3]{5}}\cdot\left(\sqrt[3]{\sqrt[5]{5}}\cdot\sqrt[4]{\sqrt[3]{5}}\right)^{1/2}\). В) 1) \(\frac{\sqrt{a^2b^2}-4ab}{a^2b^2}\cdot\frac{\sqrt{a^2b}}{2}\cdot\frac{\sqrt{b^2}}{a}\); 2) \(\left(\frac{1}{m-\sqrt{mn}}+\frac{1}{m+\sqrt{mn}}\right)\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}\).

А)

1. Применяем правило отрицательной степени и сокращаем степени:

   \(\left(\frac{xy^2}{3}\right)^{-2}\left(\frac{x^2y}{3}\right)^2=\frac{9}{x^2y^4}\cdot\frac{x^4y^2}{9}=\frac{x^2}{y^2}.\)

2. Выносим множители из-под корней (предполагая \(x\ge0\)):

   \(2\sqrt{x}+25\sqrt{x}-18\sqrt{x}-12\sqrt{x}=-3\sqrt{x}.\)

Б)

1. Сводим вложенные радикалы к степеням:

   \(\sqrt[3]{a^5\sqrt{b\sqrt[4]{a^{-1}}}}=a^{5/3}b^{1/6}a^{-1/48}=a^{79/48}b^{1/6}.\)

   \((a^2\sqrt[5]{ab^3})^2=a^{22/5}b^{6/5}.\)

   Делим степени с одинаковыми основаниями:

   \(a^{79/48-22/5}b^{1/6-6/5}=a^{-671/240}b^{-31/30}=\frac{1}{a^{671/240}b^{31/30}}.\)

2. Записываем радикалы как степени:

   \(\sqrt[5]{\sqrt[3]{5}}=5^{1/15}\), а выражение в скобках в степени \(1/2\) равно \((5^{1/15+1/12})^{1/2}=5^{3/40}.\)

   \(5^{1/15}5^{3/40}=5^{17/120}=\sqrt[120]{5^{17}}.\)

В)

1. При стандартном предположении \(a,b>0\): \(\sqrt{a^2b^2}=ab\), \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt b\), \(\sqrt{b^2}=b\). Поэтому

   \(\frac{ab-4ab}{a^2b^2}\cdot\frac{a\sqrt b}{2}\cdot\frac ba=-\frac{3}{2a}.\)

2. Складываем дроби, затем раскладываем разность кубов:

   \(\frac{1}{m-\sqrt{mn}}+\frac{1}{m+\sqrt{mn}}=\frac{2m}{m^2-mn}=\frac{2}{m-n}.\)

   Так как \(m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)\), всё выражение равно \(2\).

Ответ: А) 1) \(\frac{x^2}{y^2}\); 2) \(-3\sqrt{x}\). Б) 1) \(\frac{1}{a^{671/240}b^{31/30}}\); 2) \(\sqrt[120]{5^{17}}\). В) 1) \(-\frac{3}{2a}\); 2) \(2\).