2.20. Вычислите значение выражения. А) 1) $0{,}027^{-1/3}-\left(\frac16\right)^{-2}+256^0-3^{-1}+5{,}5^0$; 2) $\sqrt[3]{7+\sqrt{22}}\cdot\sqrt[3]{7-\sqrt{22}}$. Б) 1) $(\sqrt[3]{16}-2\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{54})(5\sqrt[3]{4}-3\sqrt[3]{\frac12})$; 2) $\frac{1-x^{1/2}}{1+x^{1/2}}-\frac{x^{1/2}-x^{-1/2}}{x-1}$ при $x=5$. В) $\sqrt{\sqrt5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2.20. Вычислите значение выражения. А) 1) $0{,}027^{-1/3}-\left(\frac16\right)^{-2}+256^0-3^{-1}+5{,}5^0$; 2)…$ Фото задания

2.20. Вычислите значение выражения. А) 1) $0{,}027^{-1/3}-\left(\frac16\right)^{-2}+256^0-3^{-1}+5{,}5^0$; 2) $\sqrt[3]{7+\sqrt{22}}\cdot\sqrt[3]{7-\sqrt{22}}$. Б) 1) $(\sqrt[3]{16}-2\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{54})(5\sqrt[3]{4}-3\sqrt[3]{\frac12})$; 2) $\frac{1-x^{1/2}}{1+x^{1/2}}-\frac{x^{1/2}-x^{-1/2}}{x-1}$ при $x=5$. В) $\sqrt{\sqrt5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}}}$.

Accepted Answer

А)

Вычисляем степени:
$0.027^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{0.027}}=\frac{10}{3}$, $\left(\frac16\right)^{-2}=36$, $256^0=1$, $3^{-1}=\frac13$, $5.5^0=1$.
$\frac{10}{3}-36+1-\frac13+1=2-34=-32.$
Объединяем кубические корни:
$\sqrt[3]{(7+\sqrt{22})(7-\sqrt{22})}=\sqrt[3]{49-22}=3.$

Б)

Пусть $t=\sqrt[3]{2}$. Тогда первый множитель равен $2t-2t+12t=12t$, второй — $5t^2-\frac{3}{t}=5t^2-\frac{3t^2}{2}=\frac72t^2$, поскольку $1/t=t^2/2$. Следовательно, произведение $12t\cdot\frac72t^2=42t^3=84$.
Подставляем $x=5$:
$\frac{1-\sqrt5}{1+\sqrt5}-\frac{\sqrt5-1/\sqrt5}{4}.$
Первую дробь рационализуем: $\frac{1-\sqrt5}{1+\sqrt5}=\frac{\sqrt5-3}{2}$. Во второй дроби $\sqrt5-1/\sqrt5=4/\sqrt5$, поэтому она равна $1/\sqrt5=\sqrt5/5$.
Итог: $\frac{\sqrt5-3}{2}-\frac{\sqrt5}{5}=\frac{3\sqrt5-15}{10}.$

В)

Упрощаем вложенный корень:

$29-12\sqrt5=(3-2\sqrt5)^2$, поэтому $\sqrt{29-12\sqrt5}=2\sqrt5-3$. Тогда $3-\sqrt{29-12\sqrt5}=6-2\sqrt5=(\sqrt5-1)^2$, и внутренний внешний корень равен $\sqrt5-1$.

Получаем $\sqrt{\sqrt5-(\sqrt5-1)}=1$.

Ответ: А) 1) $-32$; 2) $3$. Б) 1) $84$; 2) $\frac{3\sqrt5-15}{10}$. В) $1$.