2. (2012, C2) Полный конус с углом при вершине 2α вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен μ. При каком максимальном расстоянии от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса?

Обозначим через \(s\) расстояние шайбы от вершины вдоль образующей конуса. Оно также равно прямому расстоянию до вершины. Радиус окружности движения шайбы равен \(r=s\sin\alpha\).

1. Чтобы шайба вращалась вместе с конусом, ей требуется центростремительное ускорение \(\omega^2r\). Разложим силы вдоль образующей и перпендикулярно поверхности. Нужная сила трения направлена вверх по образующей, а её модуль равен \(f=m(g\cos\alpha+\omega^2r\sin\alpha)\).
2. Из равновесия сил по нормали к поверхности получаем реакцию конуса: \(N=m(g\sin\alpha-\omega^2r\cos\alpha)\).
3. Условие покоя относительно конуса: \(f\leq\mu N\). Подставляем выражения для \(f\), \(N\) и \(r=s\sin\alpha\): \[g\cos\alpha+\omega^2s\sin^2\alpha\leq\mu(g\sin\alpha-\omega^2s\sin\alpha\cos\alpha).\]
4. Решая неравенство относительно \(s\), получаем максимальное расстояние: \[s_{\max}=\frac{g(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{\omega^2\sin\alpha(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}.\]

Формула задаёт положительное расстояние, если \(\mu>\cot\alpha\). При \(\mu=\cot\alpha\) шайба может находиться в равновесии только у вершины; при \(\mu<\cot\alpha\) покой на внешней поверхности невозможен. Предполагается, что \(\omega>0\).

Ответ: \(s_{\max}=\dfrac{g(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{\omega^2\sin\alpha(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}\) при \(\mu>\cot\alpha\).