2.205. Петя работает в магазине, расположенном рядом со станцией метро. Известно, что он бегает со скоростью 10 км/ч. Чтобы прийти в магазин точно в 9 часов утра, Петя каждый день бежит по эскалатору. Иногда он в спешке путает эскалатор на подъеме с эскалатором на спуск, и тогда опаздывает на 12 минут. Однажды эскалатор стоял, и Петя опоздал на 3 минуты. Какова скорость эскалатора?

Решение:

Обозначим:

• \( v_п \) — скорость Пети (10 км/ч);
• \( v_э \) — скорость эскалатора (км/ч);
• \( S \) — расстояние до магазина (км);
• \( t_1 \) — время, которое Петя тратит, когда эскалатор движется на подъем;
• \( t_2 \) — время, которое Петя тратит, когда эскалатор движется на спуск;
• \( t_3 \) — время, которое Петя тратит, когда эскалатор стоит.

Известно, что Петя должен приходить в магазин в 9:00. Скорость Пети \( v_п = 10 \) км/ч.

Случай 1: Эскалатор едет на подъем.

Когда Петя бежит по эскалатору, движущемуся на подъем, его скорость относительно земли равна сумме его скорости и скорости эскалатора: \( v_{подъём} = v_п + v_э \).

Время, за которое Петя добирается до магазина: \( t_1 = \frac{S}{v_п + v_э} \).

Случай 2: Эскалатор едет на спуск (Петя путает).

Когда Петя бежит по эскалатору, движущемуся на спуск, его скорость относительно земли равна разности его скорости и скорости эскалатора: \( v_{спуск} = v_п - v_э \). (Предполагаем, что \( v_п > v_э \)).

Время, за которое Петя добирается до магазина: \( t_2 = \frac{S}{v_п - v_э} \).

По условию, если Петя путает направление, он опаздывает на 12 минут. Это означает, что \( t_2 = t_1 + 12 \) минут.

Переведем 12 минут в часы: \( 12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = 0.2 \text{ ч} \).

\( \frac{S}{v_п - v_э} = \frac{S}{v_п + v_э} + 0.2 \) (Уравнение 1)

Случай 3: Эскалатор стоял.

Когда эскалатор стоит, Петя просто бежит по лестнице. Его скорость равна его собственной скорости: \( v_п \).

Время, за которое Петя добирается до магазина: \( t_3 = \frac{S}{v_п} \).

По условию, если эскалатор стоял, Петя опоздал на 3 минуты. Это означает, что \( t_3 = t_1 + 3 \) минуты.

Переведем 3 минуты в часы: \( 3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч} = 0.05 \text{ ч} \).

\( \frac{S}{v_п} = \frac{S}{v_п + v_э} + 0.05 \) (Уравнение 2)

Подставим \( v_п = 10 \) км/ч.

Из Уравнения 2 выразим \( S \):

\( \frac{S}{10} = \frac{S}{10 + v_э} + 0.05 \)

\( S \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{10 + v_э} \right) = 0.05 \)

\( S \left( \frac{10 + v_э - 10}{10(10 + v_э)} \right) = 0.05 \)

\( S \left( \frac{v_э}{100 + 10v_э} \right) = 0.05 \) (Уравнение 3)

Из Уравнения 1:

\( \frac{S}{10 - v_э} = \frac{S}{10 + v_э} + 0.2 \)

\( \frac{S}{10 - v_э} - \frac{S}{10 + v_э} = 0.2 \)

\( S \left( \frac{1}{10 - v_э} - \frac{1}{10 + v_э} \right) = 0.2 \)

\( S \left( \frac{(10 + v_э) - (10 - v_э)}{(10 - v_э)(10 + v_э)} \right) = 0.2 \)

\( S \left( \frac{2v_э}{100 - v_э^2} \right) = 0.2 \) (Уравнение 4)

Теперь разделим Уравнение 4 на Уравнение 3, чтобы исключить \( S \):

\( \frac{S \left( \frac{2v_э}{100 - v_э^2} \right)}{S \left( \frac{v_э}{100 + 10v_э} \right)} = \frac{0.2}{0.05} \)

\( \frac{2v_э}{100 - v_э^2} \cdot \frac{100 + 10v_э}{v_э} = 4 \)

\( \frac{2}{100 - v_э^2} \cdot (100 + 10v_э) = 4 \)

\( \frac{200 + 20v_э}{100 - v_э^2} = 4 \)

\( 200 + 20v_э = 4(100 - v_э^2) \)

\( 200 + 20v_э = 400 - 4v_э^2 \)

\( 4v_э^2 + 20v_э + 200 - 400 = 0 \)

\( 4v_э^2 + 20v_э - 200 = 0 \)

Разделим всё на 4:

\( v_э^2 + 5v_э - 50 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( v_э \). Дискриминант \( D = 5^2 - 4(1)(-50) = 25 + 200 = 225 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 \).

\( v_{э1} = \frac{-5 + 15}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( v_{э2} = \frac{-5 - 15}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \)

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_э = 5 \) км/ч.

Проверим условие \( v_п > v_э \): \( 10 > 5 \), что верно.

Ответ: Скорость эскалатора равна 5 км/ч.