2.22. Дано число а. Выразите через а значение выражения А. B a = log₅3, A = log₁₅ + 2log₂59 - log₅₃₃.

Решение:

1. Преобразуем выражение для A:
   • log₁₅ = log₁₅(3 · 5) = log₁₅3 + log₁₅5
   • 2log₂59 = 2log₅(3²) = 2 · 2log₅3 = 4log₅3
   • log₅₃₃ = log₅(3 · √3) = log₅3 + log₅(√3) = log₅3 + log₅(3¹/²) = log₅3 + ¹/²log₅3 = 1.5log₅3
   • A = log₁₅3 + log₁₅5 + 4log₅3 - 1.5log₅3
   • A = 5log₁₅3 + 1 - 1.5log₅3
   • A = 3.5log₁₅3 + 1
2. Связь между log₁₅3 и log₅3:
   • log₁₅3 = log₅3 / log₅15 = log₅3 / (log₅3 + log₅5) = log₅3 / (log₅3 + 1)
3. Подставим a = log₅3:
   • A = 3.5(a / (a + 1)) + 1
   • A = (3.5a + a + 1) / (a + 1)
   • A = (4.5a + 1) / (a + 1)

Ответ: A = (4.5a + 1) / (a + 1)