2.23. Нить с грузом подвешена на тележке, которая движется с ускорением 2,25 м/с². Найдите силу натяжения нити после того как она займет устойчивое наклонное положение. Масса груза 4 кг. g = 10 м/с².

Решение:

Тележка движется с ускорением \( a = 2.25 \) м/с². Груз, подвешенный на нити, также приобретает это ускорение. Сила натяжения нити \( T \) должна компенсировать силу тяжести \( mg \) и создавать центростремительное ускорение. В устойчивом наклонном положении нить отклонена на некоторый угол \( \theta \) от вертикали. Ускорение \( a \) направлено горизонтально.

В системе отсчета, связанной с тележкой, груз находится в состоянии покоя. Силы, действующие на груз: сила тяжести \( mg \) (вертикально вниз) и сила натяжения нити \( T \) (вдоль нити). В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, на груз действуют те же силы, но он движется с ускорением \( a \).

Разложим силу натяжения \( T \) на горизонтальную \( T_x \) и вертикальную \( T_y \) составляющие. Угол \( \theta \) — это угол отклонения нити от вертикали.

\( T_y = T \cos \theta \) и \( T_x = T \sin \theta \).

В проекции на вертикальную ось: \( T \cos \theta = mg \).

В проекции на горизонтальную ось (направление ускорения \( a \)): \( T \sin \theta = ma \).

Разделим второе уравнение на первое: \( \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg} \) \( \tan \theta = \frac{a}{g} \).

Теперь найдем \( T \). Возведем оба уравнения в квадрат и сложим:

\( (T \cos \theta)^2 + (T \sin \theta)^2 = (mg)^2 + (ma)^2 \)

\( T^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = m^2 g^2 + m^2 a^2 \)

\( T^2 1 = m^2 (g^2 + a^2) \)

\( T = m \sqrt{g^2 + a^2} \).

Подставим данные:

\( m = 4 \) кг, \( g = 10 \) м/с², \( a = 2.25 \) м/с².

\( T = 4 \u0017 \sqrt{10^2 + (2.25)^2} = 4 \u0017 \sqrt{100 + 5.0625} = 4 \u0017 \sqrt{105.0625} \).

\( \sqrt{105.0625} \approx 10.25 \).

\( T \approx 4 \u0017 10.25 = 41 \) Н.

Ответ: 41 Н.