2.27. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке, амперметр А₁ показывает силу тока 2 А. Определите показания амперметра А₂.

Решение:

Для решения этой задачи, будем использовать законы Ома и правила для расчёта электрических цепей.

1. Расчет эквивалентного сопротивления первой параллельной ветви:
   Сопротивление верхнего резистора равно \( R \), нижнего — \( 2R \). Амперметр \( A_1 \) измеряет ток, проходящий через нижний резистор \( 2R \).
   Так как резисторы соединены параллельно, напряжение на них одинаково. Обозначим это напряжение через \( U_1 \).
   По закону Ома для нижнего резистора: \( I_{A1} = \frac{U_1}{2R} \).
   Нам дано, что \( I_{A1} = 2 \text{ A} \).
   Следовательно, \( U_1 = I_{A1} \cdot 2R = 2 \text{ A} \cdot 2R = 4R \text{ В} \).
   Ток через верхний резистор \( R \) равен: \( I_R = \frac{U_1}{R} = \frac{4R}{R} = 4 \text{ A} \).
   Общий ток, входящий в первую ветвь (до разделения на параллельные резисторы), равен сумме токов: \( I_{общий1} = I_{A1} + I_R = 2 \text{ A} + 4 \text{ A} = 6 \text{ A} \).
2. Расчет эквивалентного сопротивления второй параллельной ветви:
   Сопротивление верхнего резистора равно \( 3R \), нижнего — \( 4R \). Амперметр \( A_2 \) измеряет ток, проходящий через верхний резистор \( 3R \).
   Так как эти два параллельных участка соединены последовательно, общий ток, прошедший через первую ветвь, равен току, входящему во вторую ветвь. То есть, ток, который подходит к точке разветвления второй ветви, равен \( I_{общий1} = 6 \text{ A} \).
   Обозначим напряжение на второй ветви через \( U_2 \).
   Ток через нижний резистор \( 4R \) равен: \( I_{4R} = \frac{U_2}{4R} \).
   Ток через верхний резистор \( 3R \) (который измеряет \( A_2 \) ) равен: \( I_{A2} = \frac{U_2}{3R} \).
   Общий ток во второй ветви равен: \( I_{общий2} = I_{A2} + I_{4R} = 6 \text{ A} \).
   Мы знаем, что ток делится обратно пропорционально сопротивлениям: \( \frac{I_{A2}}{I_{4R}} = \frac{4R}{3R} = \frac{4}{3} \).
   Также мы знаем, что \( I_{A2} + I_{4R} = 6 \text{ A} \).
   Из первого уравнения: \( I_{A2} = \frac{4}{3} I_{4R} \).
   Подставим во второе уравнение:
   \( \frac{4}{3} I_{4R} + I_{4R} = 6 \text{ A} \)
   \( I_{4R} \left( \frac{4}{3} + 1 \right) = 6 \text{ A} \)
   \( I_{4R} \left( \frac{7}{3} \right) = 6 \text{ A} \)
   \( I_{4R} = 6 \text{ A} \cdot \frac{3}{7} = \frac{18}{7} \text{ A} \).
   Теперь найдём \( I_{A2} \):
   \( I_{A2} = 6 \text{ A} - I_{4R} = 6 \text{ A} - \frac{18}{7} \text{ A} = \frac{42 - 18}{7} \text{ A} = \frac{24}{7} \text{ A} \).

Ответ: Показания амперметра \( A_2 \) равны \( \frac{24}{7} \text{ A} \).