2. 2x(x²+2x+1)=2(x+1)

Решение:

1. Упростим уравнение, раскрыв скобки:

\[ 2x^3 + 4x^2 + 2x = 2x + 2 \]

2. Перенесем все члены в левую часть:

\[ 2x^3 + 4x^2 + 2x - 2x - 2 = 0 \]

3. Упростим:

\[ 2x^3 + 4x^2 - 2 = 0 \]

4. Разделим обе части на 2:

\[ x^3 + 2x^2 - 1 = 0 \]

5. Можно заметить, что \( x = -1 \) является корнем уравнения, так как:

\[ (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2(1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0 \]

6. Разделим многочлен \( x^3 + 2x^2 - 1 \) на \( (x+1) \) (или используем группировку):

\[ x^3 + x^2 + x^2 - 1 = 0 \]

\[ x^2(x+1) + (x-1)(x+1) = 0 \]

\[ (x+1)(x^2 + x - 1) = 0 \]

7. Таким образом, у нас есть два случая:
• Случай 1: \( x + 1 = 0 \) → \( x = -1 \)
• Случай 2: \( x^2 + x - 1 = 0 \)
8. Решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5 \]

9. Найдем корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \]

10. Таким образом, корни уравнения: \( x = -1 \), \( x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \), \( x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \).

Ответ: \( x = -1, x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \).