2.3^{2x+1}-7 · 6^x + 2 · 4^x / 3 · 9^x - 3^x · 2^{x+1}

Решение:

Представим выражение в виде дроби и преобразуем его, используя свойства степеней:

\( \frac{2 \cdot 3^{2x+1} - 7 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x}{3 \cdot 9^x - 3^x \cdot 2^{x+1}} \)

Преобразуем числитель:

\( 2 \cdot 3^{2x+1} = 2 \cdot 3^{2x} \cdot 3^1 = 6 \cdot (3^x)^2 \)

\( 7 \cdot 6^x = 7 \cdot (2 \cdot 3)^x = 7 \cdot 2^x \cdot 3^x \)

\( 2 \cdot 4^x = 2 \cdot (2^2)^x = 2 \cdot (2^x)^2 \)

Числитель: \( 6 \cdot (3^x)^2 - 7 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot (2^x)^2 \)

Преобразуем знаменатель:

\( 3 \cdot 9^x = 3 \cdot (3^2)^x = 3 \cdot (3^x)^2 \)

\( 3^x \cdot 2^{x+1} = 3^x \cdot 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x \cdot 3^x \)

Знаменатель: \( 3 \cdot (3^x)^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 3^x \)

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

\( \frac{6 \cdot (3^x)^2 - 7 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot (2^x)^2}{3 \cdot (3^x)^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 3^x} \)

Пусть \( a = 3^x \) и \( b = 2^x \). Тогда выражение принимает вид:

\( \frac{6a^2 - 7ab + 2b^2}{3a^2 - 2ab} \)

Разложим числитель на множители. Ищем корни квадратного трёхчлена \( 6t^2 - 7t + 2 = 0 \). Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1 \). Корни: \( t_1 = \frac{7+1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \), \( t_2 = \frac{7-1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \).

Следовательно, \( 6a^2 - 7ab + 2b^2 = 6(a - \frac{2}{3}b)(a - \frac{1}{2}b) = (3a - 2b)(2a - b) \).

Разложим знаменатель на множители:

\( 3a^2 - 2ab = a(3a - 2b) \)

Теперь выражение выглядит так:

\( \frac{(3a - 2b)(2a - b)}{a(3a - 2b)} \)

Сокращаем \( (3a - 2b) \), при условии \( 3a - 2b \neq 0 \) (т.е. \( 3 \cdot 3^x \neq 2 \cdot 2^x \)).

\( \frac{2a - b}{a} = 2 - \frac{b}{a} \)

Подставляем обратно \( a = 3^x \) и \( b = 2^x \):

\( 2 - \frac{2^x}{3^x} = 2 - (\frac{2}{3})^x \)

Ответ: \( 2 - (\frac{2}{3})^x \)