2.3. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x-1, & x\ge -4,\\ x, & x<-4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2.3. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x-1, & x\ge -4,\\ x, & x<-4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях…$ Фото задания

2.3. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x-1, & x\ge -4,\\ x, & x<-4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Для части графика при $x\ge -4$: $x^2+4x-1=(x+2)^2-5$. Это парабола с вершиной $(-2,-5)$, из которой оставлена часть при $x\ge-4$. При $x<-4$ график задаёт прямая $y=x$; точка $(-4,-4)$ в эту часть не входит.

Пусть горизонтальная прямая имеет уравнение $y=m$. Для параболы точки пересечения находятся из уравнения $(x+2)^2=m+5$. При $m=-5$ есть одна точка пересечения, при $-5<m\le-1$ — две; при $m>-1$ остаётся только один корень с $x\ge-4$.

На линейной части пересечение возможно только при $m<-4$: тогда точка имеет координаты $(m,m)$. При $m=-4$ эта точка не входит в линейную часть, поскольку там требуется $x<-4$.

Итак, при $m=-5$ одна точка принадлежит параболе и одна — линейной части. При $-5<m<-4$ получается три точки пересечения. При $-4\le m\le-1$ их ровно две — обе на параболе.

Ответ: $m=-5$ или $-4\le m\le-1$.

2.3. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2+4x-1, & x\ge -4,\\ x, & x<-4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: