2.31. Найдите значение выражения: А) \(\left(\frac{1}{a+3}-\frac{27}{a^3+27}+\frac{9}{a^2-3a+9}\right)\left(a-\frac{6a-9}{a+3}\right)\) при \(a=-\frac{11}{31}\); Б) \(\left(\frac{1}{x+1}-\frac{3}{x^3+1}+\frac{3}{x^2-x+1}\right)\left(x-\frac{2x-1}{x+1}\right)\) при \(x=0{,}67\); В) \(\left(\frac{1}{a+2}-\frac{12}{a^3+8}+\frac{6}{a^2-2a+4}\right)\left(a-\frac{4a-4}{a+2}\right)\) при \(a=9{,}333\).

А) Используем разложение суммы кубов: \(a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)\).

Первая скобка:

\[\frac{1}{a+3}-\frac{27}{(a+3)(a^2-3a+9)}+\frac{9}{a^2-3a+9}=\frac{a^2-3a+9-27+9(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{a+3}{a^2-3a+9}.\]

Вторая скобка:

\[a-\frac{6a-9}{a+3}=\frac{a(a+3)-(6a-9)}{a+3}=\frac{a^2-3a+9}{a+3}.\]

Произведение равно \(1\), поэтому при \(a=-\frac{11}{31}\) значение выражения равно \(1\).

Б) Так как \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\), первая скобка упрощается:

\[\frac{1}{x+1}-\frac{3}{(x+1)(x^2-x+1)}+\frac{3}{x^2-x+1}=\frac{x^2-x+1-3+3(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{x+1}{x^2-x+1}.\]

Вторая скобка:

\[x-\frac{2x-1}{x+1}=\frac{x(x+1)-(2x-1)}{x+1}=\frac{x^2-x+1}{x+1}.\]

Произведение равно \(1\); при \(x=0{,}67\) все знаменатели определены.

В) Используем равенство \(a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4)\). Первая скобка:

\[\frac{1}{a+2}-\frac{12}{(a+2)(a^2-2a+4)}+\frac{6}{a^2-2a+4}=\frac{a^2-2a+4-12+6(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{a+2}{a^2-2a+4}.\]

Вторая скобка:

\[a-\frac{4a-4}{a+2}=\frac{a(a+2)-(4a-4)}{a+2}=\frac{a^2-2a+4}{a+2}.\]

Произведение равно \(1\); при \(a=9{,}333\) знаменатели не обращаются в ноль.

Ответ: А) 1; Б) 1; В) 1.