2^{3x} + 8 \(\cdot\) 2^x - 6 \(\cdot\) 2^x = 0

Решение:

Это показательное уравнение. Для его решения сделаем замену переменной. Пусть \( y = 2^x \). Тогда \( 2^{3x} = (2^x)^3 = y^3 \).

Уравнение примет вид:

\[ y^3 + 8y - 6y = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ y^3 + 2y = 0 \]

Вынесем \( y \) за скобки:

\[ y(y^2 + 2) = 0 \]

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно:

1. \( y = 0 \)

2. \( y^2 + 2 = 0 \) (Это уравнение не имеет действительных решений, так как \( y^2 \) всегда неотрицательно, а \( y^2 + 2 \) всегда больше нуля).

Теперь вернёмся к замене \( y = 2^x \) и рассмотрим случай \( y = 0 \):

\[ 2^x = 0 \]

Показательная функция \( 2^x \) всегда положительна и никогда не равна нулю. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.