2.41. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения \(\dfrac{3a+2}{9a^2-6a+4}-\dfrac{18a}{27a^3+8}-\dfrac{1}{3a+2}\) равно нулю.

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. Разложим сумму кубов:

\(27a^3+8=(3a+2)(9a^2-6a+4)\).

Квадратный трёхчлен \(9a^2-6a+4\) не обращается в ноль при действительных \(a\): его дискриминант \(D=(-6)^2-4\cdot9\cdot4=-108<0\). Поэтому единственное ограничение: \(3a+2\ne0\), то есть \(a\ne-\dfrac23\).

При допустимых значениях приведём выражение к общему знаменателю \((3a+2)(9a^2-6a+4)\):

\[\frac{(3a+2)^2-18a-(9a^2-6a+4)}{(3a+2)(9a^2-6a+4)}.\]

Раскроем скобки в числителе:

\[9a^2+12a+4-18a-9a^2+6a-4=0.\]

Следовательно, при всех допустимых значениях \(a\) значение выражения равно \(0\).