2.41. Разложите многочлен P(x) на линейные множители, если это возможно: а) P(x) = 2x³ − x² − 8x + 4; б) P(x) = 3x³ − x² − 6x + 2; в) P(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 3; г) P(x) = 2x³ − 8x² + x − 4.

Рассматриваем разложение над действительными числами. Для группировки слагаемых используем общий двучлен.

1. а) \(2x^3-x^2-8x+4=x^2(2x-1)-4(2x-1)=(2x-1)(x^2-4)=(2x-1)(x-2)(x+2)\).
2. б) \(3x^3-x^2-6x+2=x^2(3x-1)-2(3x-1)=(3x-1)(x^2-2)=(3x-1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\).
3. в) \(2x^3-3x^2+2x-3=x^2(2x-3)+(2x-3)=(2x-3)(x^2+1)\). Квадратный множитель не имеет действительных корней, поэтому на действительные линейные множители многочлен полностью не раскладывается.
4. г) \(2x^3-8x^2+x-4=2x^2(x-4)+(x-4)=(x-4)(2x^2+1)\). Множитель \(2x^2+1\) не имеет действительных корней, поэтому полного разложения на действительные линейные множители нет.