2.41. Существуют ли среди точек A, B, C и D точки, координаты которых являются простыми числами (рис. 35), если p — простое число?

На рисунке показаны переходы по числовой прямой: от A на 1 вправо до точки с координатой p, от B на 1 влево к той же точке, затем на p вправо до C и ещё на p вправо до D. Значит, координаты точек связаны равенствами A + 1 = p, B − 1 = p, C = A + p, D = C + p.

Следовательно, A = p − 1 и B = p + 1. Если p — нечётное простое число, то p − 1 и p + 1 — чётные числа, большие 2, а значит, составные. При p = 2 получаем A = 1, B = 3; число 1 не является простым, а 3 — простое.

Кроме того, C = 2p − 1 и D = 3p − 1. При p = 2 это даёт C = 3 и D = 5, оба числа простые. При нечётном простом p координаты C и D чётные; C больше 2, поэтому составное, а D тоже больше 2 и составное.

Ответ: да. При p = 2 простые координаты имеют точки B, C и D.