2.45. Найдите кратчайший путь на поверхности куба из точки K в точку L: а) который проходит через точку M; б) который пересекает все горизонтальные рёбра куба, кроме ребра KL.

Пусть ребро куба равно \(a\).

а) Отрезок от K до M — диагональ грани, поэтому его длина равна \(a\sqrt{2}\). Если развернуть грани, по которым проходит кратчайший путь от M до L, получим прямоугольник со сторонами \(2a\) и \(a\). Тогда длина этого пути равна \(a\sqrt{5}\).

Так как путь должен пройти через M, складываем длины двух частей: \(a\sqrt{2}+a\sqrt{5}=a(\sqrt{2}+\sqrt{5})\).

б) Развернём четыре грани, расположенные вокруг куба, в прямоугольник со сторонами \(4a\) и \(a\). Диагональ этого прямоугольника пересекает три горизонтальных ребра, отличных от KL. Её длина: \(\sqrt{(4a)^2+a^2}=a\sqrt{17}\).

Ответ: а) \(a(\sqrt{2}+\sqrt{5})\); б) \(a\sqrt{17}\).