2.45. Развари воображение. Найдите кратчайший путь на поверхности куба (рис. 2.2) из точки K в точку L: а) который проходит через точку M; б) который пересекает все горизонтальные рёбра куба, кроме ребра KL.

Для численного ответа нужны размеры куба, которых на рисунке нет. Обозначим длину ребра через a. При развёртке поверхности нужные грани располагают в плоскости, а путь становится прямым отрезком.

а) Точка M — верхняя задняя левая вершина. Развернём две грани, соединённые ребром KM: их общий край станет прямой KM. Чтобы ломаная K–M–L была кратчайшей, обе её части должны лежать на одной прямой. На таком развороте M и L оказываются на одной вертикали, а расстояние от K до этой вертикали равно a; вертикальное расстояние от K до L — 2a. Поэтому длина пути равна диагонали прямоугольника со сторонами a и 2a:

\(d_a=\sqrt{a^2+(2a)^2}=a\sqrt{5}.\)

б) Горизонтальных рёбер куба четыре. Путь, пересекающий все рёбра, кроме KL, можно развернуть через две противоположные боковые грани. В развёртке кратчайший путь между K и L имеет горизонтальное смещение 3a и вертикальное смещение a. Тогда

\(d_b=\sqrt{(3a)^2+a^2}=a\sqrt{10}.\)

Без длины ребра можно указать только ответы через a; если известна длина ребра куба, подставьте её вместо a.

Ответ: а) \(a\sqrt{5}\); б) \(a\sqrt{10}\).