2.5.30. К концу 2008 года в городе проживало 38 100 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2016 года в городе проживало 43 620 человек. Какова была численность населения того города к концу 2012 года?

Решение:

Эта задача также решается с помощью арифметической прогрессии, где:

• \(a_1\) — численность населения в конце 2008 года, \(a_1 = 38100\) человек.
• \(a_n\) — численность населения в конце 2016 года, \(a_n = 43620\) человек.
• \(n\) — количество лет между 2008 и 2016 годами. \(n = 2016 - 2008 = 8\) лет.
• \(d\) — ежегодное увеличение числа жителей (разность прогрессии).

Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Подставляем известные значения:

\( 43620 = 38100 + (8-1)d \)

\( 43620 = 38100 + 7d \)

Найдём \(7d\):

\( 7d = 43620 - 38100 \)

\( 7d = 5520 \)

Найдём \(d\):

\( d = \frac{5520}{7} \approx 788.57 \)

Так как число жителей должно быть целым, скорее всего, в условии подразумевается, что население возрастает на целое число, или в конце 2016 года было приблизительно 43620 человек. Будем считать, что \(d\) — это точное значение. Если \(d\) должно быть целым, то \( 5520 \) должно делиться на \( 7 \) без остатка. \( 5520 / 7 \) не является целым числом. Возможно, в условии опечатка. Попробуем найти \(d\) если \( 5520 \) это результат вычитания. \( 5520 \) делится на \(8\) -> \( 690 \). Тогда \( 8 · 690 = 5520 \). Если \( 7d = 5520 \), то \( d = \frac{5520}{7} \).

Предположим, что \(d\) — целое число, и \( 5520 \) должно делиться на \( 7 \). \( 5520 \div 7 = 788 \) с остатком \( 4 \).

Проверим, если \( d = 788 \) : \( 38100 + 7 · 788 = 38100 + 5516 = 43616 \). Это близко к \( 43620 \).

Проверим, если \( d = 789 \) : \( 38100 + 7 · 789 = 38100 + 5523 = 43623 \). Это тоже близко.

Если принять, что \( 5520 \) — точная разница, и \( d = \frac{5520}{7} \), тогда:

Нам нужно найти численность населения к концу 2012 года. Это через \( 2012 - 2008 = 4 \) года. То есть \( a_5 \) (так как 2008 год — это \(a_1\), 2009 — \(a_2\), ..., 2012 — \(a_5\)).

\( a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d \)

\( a_5 = 38100 + 4 · \frac{5520}{7} \)

\( a_5 = 38100 + \frac{22080}{7} \)

\( a_5 = \frac{38100 · 7 + 22080}{7} = \frac{266700 + 22080}{7} = \frac{288780}{7} \approx 41254.28 \)

Предположим, что в условии опечатка и \( 7d = 5600 \), тогда \( d = 800 \). Тогда \( a_{25} = 38100 + 7*800 = 38100+5600 = 43700 \neq 43620 \).

Если \( d=690 \) (чтобы \(43620-38100 = 5520 \) делилось на 8, а не на 7):

\( a_5 = 38100 + 4 · 690 = 38100 + 2760 = 40860 \)

Если принять, что \( 7d = 5516 \) (когда \( d=788 \)):

\( a_5 = 38100 + 4 · 788 = 38100 + 3152 = 41252 \)

Если принять, что \( 7d = 5523 \) (когда \( d=789 \)):

\( a_5 = 38100 + 4 · 789 = 38100 + 3156 = 41256 \)

Из-за нецелого значения \(d\) есть вероятность ошибки в условии. Однако, если следовать строго условию:

\( d = \frac{5520}{7} \).

К концу 2012 года прошло \( 2012 - 2008 = 4 \) года. Таким образом, нам нужно найти 5-й член прогрессии (так как 2008 год - это 1-й год, 2009 - 2-й, ..., 2012 - 5-й).

\( a_5 = a_1 + (5-1)d = 38100 + 4 · \frac{5520}{7} = 38100 + \frac{22080}{7} = \frac{266700 + 22080}{7} = \frac{288780}{7} \approx 41254 \)

Если предположить, что \( d \) должно быть целым, и \( 43620 \) - это округленное значение, то \( d ≈ 789 \).

\( a_5 = 38100 + 4 · 789 = 38100 + 3156 = 41256 \)

Исходя из того, что такие задачи обычно имеют целые числа, скорее всего, произошло некоторое округление или опечатка. Если мы примем, что \( d=789 \), то население будет \( 41256 \). Если \( d=788 \), то \( 41252 \).

Если задача предполагает точный расчет, то:

\( a_5 = 38100 + 4 · \frac{5520}{7} = 38100 + \frac{22080}{7} = \frac{266700 + 22080}{7} = \frac{288780}{7} \)

Округлим до целого: \( 41254 \).

Ответ: Численность населения города к концу 2012 года составляла приблизительно 41254 человека.