2.53. Решите уравнения: а) x³ + 6x² + 11x + 6 = 0; б) x³ + 2x² − 5x − 6 = 0; в) x³ − 2x − 4 = 0; г) x³ − 6x − 9 = 0; д) x⁴ + x³ + 5x² + 4x + 4 = 0; е) x⁵ + 3x³ + 2x = 0; ж) 3x³ − x² − 12x + 4 = 0.

Разложим многочлены на множители. Ищем действительные корни.

а) Подбором корней получаем разложение: \(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)\). Поэтому \(x=-1,-2,-3\).

б) \(x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x+1)(x+3)\). Поэтому \(x=2,-1,-3\).

в) \(x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)\). У квадратного множителя дискриминант \(D=2^2-4\cdot1\cdot2=-4<0\), действительных корней нет. Следовательно, \(x=2\).

г) \(x^3-6x-9=(x-3)(x^2+3x+3)\). У квадратного множителя \(D=3^2-4\cdot1\cdot3=-3<0\), поэтому действительный корень только \(x=3\).

д) \(x^4+x^3+5x^2+4x+4=(x^2+x+1)(x^2+4)\). Дискриминант первого квадратного множителя равен \(-3\), а \(x^2+4>0\) при всех действительных \(x\). Действительных корней нет.

е) Вынесем \(x\) за скобки и разложим на множители: \(x^5+3x^3+2x=x(x^2+1)(x^2+2)\). Два квадратных множителя положительны при действительных \(x\), значит, \(x=0\).

ж) \(3x^3-x^2-12x+4=(x-2)(3x-1)(x+2)\). Поэтому \(x=2,\;x=\frac{1}{3},\;-2\).

Ответ: а) −1, −2, −3; б) 2, −1, −3; в) 2; г) 3; д) действительных корней нет; е) 0; ж) 2, 1/3, −2.