2.57. Найдите наибольшие общие делители чисел: а) 12 и 6; б) 14 и 42; в) 106 и 132; г) 90 и 315; д) 10, 15 и 30; е) 6, 8 и 12; ж) 6, 9 и 18; з) 77, 91 и 140.

Используем разложение чисел на простые множители.

1. а) \(12=2^2\cdot3\), \(6=2\cdot3\). Поэтому \(\operatorname{НОД}(12,6)=2\cdot3=6\).
2. б) \(14=2\cdot7\), \(42=2\cdot3\cdot7\). Поэтому \(\operatorname{НОД}(14,42)=2\cdot7=14\).
3. в) \(106=2\cdot53\), \(132=2^2\cdot3\cdot11\). Общий множитель — \(2\), поэтому \(\operatorname{НОД}(106,132)=2\).
4. г) \(90=2\cdot3^2\cdot5\), \(315=3^2\cdot5\cdot7\). Поэтому \(\operatorname{НОД}(90,315)=3^2\cdot5=45\).
5. д) Общий множитель чисел \(10\), \(15\) и \(30\) — \(5\). Значит, \(\operatorname{НОД}=5\).
6. е) Общий множитель чисел \(6\), \(8\) и \(12\) — \(2\). Значит, \(\operatorname{НОД}=2\).
7. ж) Общий множитель чисел \(6\), \(9\) и \(18\) — \(3\). Значит, \(\operatorname{НОД}=3\).
8. з) \(77=7\cdot11\), \(91=7\cdot13\), \(140=7\cdot20\). Поэтому \(\operatorname{НОД}(77,91,140)=7\).

Ответ: а) 6; б) 14; в) 2; г) 45; д) 5; е) 2; ж) 3; з) 7.