2.62. Упростите выражение: \(\left(\frac{1}{2-a}+\frac{6a-4-a^2}{a^3-8}-\frac{2-a}{a^2+2a+4}\right)\cdot\frac{a^3+4a^2+8a+8}{4-4a+a^2-a^3}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители: \(a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)\), \(a^3+4a^2+8a+8=(a+2)(a^2+2a+4)\), \(4-4a+a^2-a^3=-(a-1)(a^2+4)\).

Так как \(\frac{1}{2-a}=-\frac{1}{a-2}\), а \(-\frac{2-a}{a^2+2a+4}=\frac{a-2}{a^2+2a+4}\), приведём выражения в первой скобке к общему знаменателю:

\[\frac{-(a^2+2a+4)+(6a-4-a^2)+(a-2)^2}{(a-2)(a^2+2a+4)}=-\frac{a^2+4}{(a-2)(a^2+2a+4)}.\]

Подставим разложения во вторую дробь и сократим:

\[ -\frac{a^2+4}{(a-2)(a^2+2a+4)}\cdot\frac{(a+2)(a^2+2a+4)}{-(a-1)(a^2+4)}=\frac{a+2}{(a-2)(a-1)}.\]

Ограничения исходного выражения: \(a\ne2\), \(a\ne1\).

Ответ: \(\frac{a+2}{(a-2)(a-1)}\), где \(a\ne1,2\).