2.63 Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 45, 60 и 105; б) 162, 222 и 432; в) 108, 72 и 96; г) 240, 480 и 720.

Задание 2.63

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, нужно разложить каждое число на простые множители, а затем перемножить общие простые множители в наименьшей степени.

а) 45, 60 и 105

• Разложим числа на простые множители:
• \( 45 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5 \)
• \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
• \( 105 = 3 \times 5 \times 7 \)
• Общие простые множители: 3 и 5.
• Наименьшая степень для 3 — первая (в числах 60 и 105).
• Наименьшая степень для 5 — первая (во всех числах).
• НОД(45, 60, 105) = \( 3 \times 5 = 15 \).

Ответ: 15

б) 162, 222 и 432

• Разложим числа на простые множители:
• \( 162 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^5 \)
• \( 222 = 2 \times 3 \times 37 \)
• \( 432 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^4 \times 3^3 \)
• Общие простые множители: 2 и 3.
• Наименьшая степень для 2 — первая (в числах 162 и 222).
• Наименьшая степень для 3 — первая (в числе 222).
• НОД(162, 222, 432) = \( 2 \times 3 = 6 \).

Ответ: 6

в) 108, 72 и 96

• Разложим числа на простые множители:
• \( 108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3 \)
• \( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \)
• \( 96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3 \)
• Общие простые множители: 2 и 3.
• Наименьшая степень для 2 — вторая (в числе 108).
• Наименьшая степень для 3 — первая (в числе 96).
• НОД(108, 72, 96) = \( 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12 \).

Ответ: 12

г) 240, 480 и 720

• Заметим, что 480 = 2 \( \times \) 240 и 720 = 3 \( \times \) 240.
• Это значит, что 240 является делителем и 480, и 720.
• Следовательно, наибольший общий делитель этих трех чисел равен самому меньшему из них, то есть 240.
• Проверим разложением:
• \( 240 = 2^4 \times 3 \times 5 \)
• \( 480 = 2^5 \times 3 \times 5 \)
• \( 720 = 2^4 \times 3^2 \times 5 \)
• Общие простые множители: 2, 3, 5.
• Наименьшая степень для 2 — четвертая (в числах 240 и 720).
• Наименьшая степень для 3 — первая (в числах 240 и 480).
• Наименьшая степень для 5 — первая (во всех числах).
• НОД(240, 480, 720) = \( 2^4 \times 3 \times 5 = 16 \times 3 \times 5 = 240 \).

Ответ: 240