2.64. Упростите выражение: $\dfrac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\dfrac{c^3}{(c-a)(c-b)}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2.64. Упростите выражение: $\dfrac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\dfrac{c^3}{(c-a)(c-b)}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим общий знаменатель через $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приводим дроби к нему:

\[\frac{a^3(b-c)-b^3(a-c)+c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}.\]

Числитель раскладывается на множители:

\[a^3(b-c)-b^3(a-c)+c^3(a-b)=(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c).\]

Сокращаем общий множитель. При этом исходные знаменатели должны быть ненулевыми, то есть $a$, $b$, $c$ попарно различны.

Ответ: $a+b+c$.

2.64. Упростите выражение: \(\dfrac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\dfrac{c^3}{(c-a)(c-b)}\).