2.65. Докажите, что значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных: а) \(\dfrac{2}{(a+b)^3}\cdot\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)+\dfrac1{a^2+b^2+2ab}\cdot\left(\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}\right);\) б) \(\left(\dfrac{a^2}{4b^3}+\dfrac2a\right):\left(\dfrac{a}{2b^2}-\dfrac1b+\dfrac2a\right):\dfrac{(a-2b)^2+8ab}{4+\frac{2a}{b}}\).

а) Допустимы значения, при которых знаменатели не равны нулю: \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(a+b\ne0\).

Преобразуем первое слагаемое:

\(\dfrac{2}{(a+b)^3}\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)=\dfrac{2}{ab(a+b)^2}.\)

Преобразуем второе слагаемое, учитывая, что \(a^2+b^2+2ab=(a+b)^2\):

\(\dfrac1{(a+b)^2}\left(\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}\right)=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2(a+b)^2}.\)

Сложим слагаемые:

\(\dfrac{2ab}{a^2b^2(a+b)^2}+\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2(a+b)^2}=\dfrac{(a+b)^2}{a^2b^2(a+b)^2}=\dfrac1{a^2b^2}>0.\)

Следовательно, выражение положительно при всех допустимых значениях.

б) Допустимы значения, при которых исходные знаменатели и делители не равны нулю; в частности, \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(a+2b\ne0\).

Сначала упростим первую скобку:

\(\dfrac{a^2}{4b^3}+\dfrac2a=\dfrac{a^3+8b^3}{4ab^3}=\dfrac{(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)}{4ab^3}.\)

Вторую скобку представим в виде дроби:

\(\dfrac{a}{2b^2}-\dfrac1b+\dfrac2a=\dfrac{a^2-2ab+4b^2}{2ab^2}.\)

Разделим первую скобку на вторую:

\(\left(\dfrac{a^2}{4b^3}+\dfrac2a\right):\left(\dfrac{a}{2b^2}-\dfrac1b+\dfrac2a\right)=\dfrac{a+2b}{2b}.\)

Упростим последний делитель:

\(\dfrac{(a-2b)^2+8ab}{4+\frac{2a}{b}}=\dfrac{(a+2b)^2}{2(a+2b)/b}=\dfrac{b(a+2b)}2.\)

Тогда всё выражение равно:

\(\dfrac{a+2b}{2b}:\dfrac{b(a+2b)}2=\dfrac1{b^2}>0.\)

Следовательно, выражение положительно при всех допустимых значениях.