2.65. Упростите выражения: а) \(\left(\dfrac bc+\dfrac cb\right)^2+\left(\dfrac ca+\dfrac ac\right)^2+\left(\dfrac ab+\dfrac ba\right)^2-\left(\dfrac bc+\dfrac cb\right)\left(\dfrac ca+\dfrac ac\right)\left(\dfrac ab+\dfrac ba\right)\); б) \(\dfrac{b-c}{b+c}+\dfrac{c-a}{c+a}+\dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(b+c)(c+a)(a+b)}\).

а) Обозначим \(x=\dfrac bc+\dfrac cb\), \(y=\dfrac ca+\dfrac ac\), \(z=\dfrac ab+\dfrac ba\). Поскольку произведение отношений \(\dfrac bc\cdot\dfrac ca\cdot\dfrac ab=1\), выполняется тождество \(x^2+y^2+z^2-xyz=4\). Действительно, если \(p=\dfrac bc\), \(q=\dfrac ca\), то \(\dfrac ab=\dfrac1{pq}\); подстановка и раскрытие скобок дают это тождество.

Следовательно, выражение равно \(4\).

б) Приведём слагаемые к общему знаменателю \((b+c)(c+a)(a+b)\). Числитель получается таким:

\[(b-c)(c+a)(a+b)+(c-a)(b+c)(a+b)+(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(c-a)(a-b).\]

После раскрытия скобок слагаемые сокращаются попарно, поэтому числитель равен нулю. При ненулевых знаменателях всё выражение равно нулю.

Ответ: а) \(4\); б) \(0\).