2.66. Определите эквивалентные сопротивления проволочных сеток, изображенных на рисунке. Сопротивление каждой ветви любой сетки (вне зависимости от ее длины) равно R.

Решение:

Для решения задач этого типа, где требуется найти эквивалентное сопротивление сети, применим метод симметрии и законы Ома.

Сетка 1 (Ромб)

Данная сетка представляет собой ромб, где вход и выход расположены на двух противоположных вершинах. Из-за симметрии ромба, сопротивление верхних и нижних ветвей, исходящих из точек входа/выхода, будет одинаковым.

Рассмотрим одну половину ромба. Вход и выход находятся в вершинах A и C. Ветви AB и AD имеют сопротивление R, BC и CD имеют сопротивление R. Точки B и D соединены вместе, но из-за симметрии ток, проходящий через AB, будет равен току, проходящему через AD. Таким образом, ветви AB и AD находятся под одинаковым потенциалом, и их можно рассматривать как параллельно соединенные. То же самое относится к ветвям BC и CD.

Однако, более простой подход: симметрия входных и выходных точек. Если ток входит в одну вершину (скажем, верхнюю) и выходит из противоположной (нижней), то две диагональные ветви (например, AB и CB) будут иметь одинаковый ток, и две другие диагональные ветви (AD и CD) также будут иметь одинаковый ток. Можно представить, что точки B и D эквипотенциальны.

Если ток входит в верхнюю вершину и выходит из нижней, то верхние две ветви (AB и AD) эквивалентны одной ветви с сопротивлением R/2. Нижние две ветви (BC и CD) также эквивалентны одной ветви с сопротивлением R/2. Между этими двумя эквивалентными ветвями (R/2 и R/2) есть еще одна ветвь (BD) с сопротивлением R. Но при симметричном подключении (вход/выход на противоположных вершинах) точки B и D оказываются эквипотенциальными, поэтому ветвь BD не участвует в переносе тока. Вход и выход подключены к вершинам ромба.

Рассмотрим более детально. Пусть ток входит в вершину 1 и выходит из вершины 3. Ветви 1-2 и 1-4 имеют сопротивление R. Ветви 2-3 и 4-3 имеют сопротивление R. Ветвь 2-4 имеет сопротивление R.

Из-за симметрии, ток, входящий в вершину 1, разделится поровну между ветвями 1-2 и 1-4. Ток, выходящий из вершины 3, будет суммой токов из ветвей 2-3 и 4-3. Потенциалы вершин 2 и 4 будут одинаковы. Следовательно, ветвь 2-4 можно исключить (или рассматривать как короткое замыкание, если потенциалы равны).

Если потенциалы точек 2 и 4 равны, то сопротивление между ними не влияет на общее эквивалентное сопротивление. Таким образом, у нас есть две параллельные цепи:

• Цепь 1: Вершина 1 → Вершина 2 → Вершина 3 (сопротивление R + R = 2R)
• Цепь 2: Вершина 1 → Вершина 4 → Вершина 3 (сопротивление R + R = 2R)

Эти две цепи соединены параллельно. Общее эквивалентное сопротивление:

\[ R_{экв} = \frac{1}{\frac{1}{2R} + \frac{1}{2R}} = \frac{1}{\frac{2}{2R}} = \frac{1}{\frac{1}{R}} = R \]

Ответ для сетки 1: R

Сетка 2 (Гексагон)

Эта сетка представляет собой шестиугольник с дополнительным горизонтальным проводником, соединяющим две противоположные вершины. Точки входа и выхода отмечены на двух противоположных вершинах.

Пусть ток входит в одну из вершин (например, верхнюю левую) и выходит из противоположной (нижней правой). У шестиугольника 6 ветвей, каждая сопротивлением R. Дополнительно есть горизонтальная ветвь между двумя вершинами, также сопротивлением R.

Из-за симметрии, ток, входящий в одну вершину, будет проходить через две ветви и выходить из противоположной. Горизонтальная ветвь, соединяющая две середины, будет находиться под одинаковым потенциалом, если вход и выход расположены на противоположных вершинах.

Рассмотрим по одной ветви от входа и выхода: верхняя левая → верхняя → верхняя правая (R + R = 2R) и нижняя левая → нижняя → нижняя правая (R + R = 2R). Горизонтальная ветвь между левой и правой средней вершинами имеет сопротивление R.

С учетом симметрии, ток, входящий в верхнюю левую вершину, разделится поровну между верхним левым ребром и нижним левым ребром. Точно так же ток, выходящий из нижней правой вершины, будет суммироваться из верхнего правого и нижнего правого ребер. Вертикальная диагональ (если бы она была) была бы нейтральна. Горизонтальная ветвь, соединяющая средние вершины, будет под одинаковым потенциалом.

Рассмотрим упрощенную схему. Если вход и выход находятся на противоположных вершинах, то средняя горизонтальная ветвь (сопротивлением R) будет эквипотенциальна. Мы имеем три параллельные ветви:

• Верхняя ветвь: R + R = 2R
• Нижняя ветвь: R + R = 2R
• Средняя ветвь: R

Эти три ветви соединены параллельно.

\[ R_{экв} = \frac{1}{\frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{R}} = \frac{1}{\frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{2}{2R}} = \frac{1}{\frac{4}{2R}} = \frac{1}{\frac{2}{R}} = \frac{R}{2} \]

Ответ для сетки 2: R/2

Сетка 3 (Квадрат с диагоналями)

Эта сетка представляет собой квадрат, в котором проведены обе диагонали. Точки входа и выхода находятся на двух противоположных вершинах.

Пусть ток входит в одну вершину (например, верхнюю) и выходит из противоположной (нижней). В этом случае, благодаря симметрии, четыре ветви, образующие квадрат (сопротивлением R каждая), будут нести одинаковый ток. Также, диагональные ветви (сопротивлением R каждая) будут эквипотенциальны, так как вход и выход расположены на противоположных вершинах. Можно рассматривать как будто две ветви от входа, каждая R, ведущие к двум точкам, которые затем соединяются с двумя ветвями, ведущими к выходу.

Рассмотрим более формально. Вход в вершину A, выход из вершины C. А-B, A-D, B-C, D-C - стороны квадрата (R). A-C и B-D - диагонали (R).

Если ток входит в A и выходит из C, то потенциалы B и D будут одинаковы. Это означает, что ветвь B-D не несет тока и ее можно удалить. Остается цепь, где ток идет из A через две параллельные ветви (A-B-C и A-D-C) к C. Каждая такая ветвь имеет сопротивление R+R = 2R. Эти две ветви соединены параллельно.

\[ R_{экв} = \frac{1}{\frac{1}{2R} + \frac{1}{2R}} = \frac{1}{\frac{2}{2R}} = R \]

Ответ для сетки 3: R

Итоговый ответ:

Сетка 1: R

Сетка 2: R/2

Сетка 3: R