2.7. Определите, имеют ли уравнения действительные корни; если имеют, найдите их: 1) 4x² + 1 = 0; 2) 2m² − 3m = 8 − 3m; 3) 5n² − 1 = (n − 1)(n + 1); 4) 10 − 2x² = x² − x + 10; 5) 3y² + 4y + 4 = 3 + 4y; 6) (2x − 3)² + 4 = 0.

1. Так как квадрат действительного числа неотрицателен, \(4x^2+1\ge 1\). Поэтому уравнение не имеет действительных корней.

2. Перенесём одинаковые слагаемые:

   \(2m^2-3m=8-3m\)

   \(2m^2=8\), следовательно, \(m^2=4\), откуда \(m=\pm2\).

3. Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:

   \(5n^2-1=n^2-1\)

   \(4n^2=0\), поэтому \(n=0\).

4. Перенесём слагаемые и разложим на множители:

   \(10-2x^2=x^2-x+10\)

   \(3x^2-x=0\)

   \(x(3x-1)=0\), поэтому \(x=0\) или \(x=\frac13\).

5. Сократим одинаковые слагаемые:

   \(3y^2+4y+4=3+4y\)

   \(3y^2+1=0\). Левая часть положительна для любого действительного \(y\), поэтому действительных корней нет.

6. Квадрат неотрицателен, значит \((2x-3)^2+4\ge4\). Действительных корней нет.

Ответ: 1) действительных корней нет; 2) \(m=\pm2\); 3) \(n=0\); 4) \(x=0,\frac13\); 5) действительных корней нет; 6) действительных корней нет.